题目内容

矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF，设AE=x，△FCG的面积=y．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值；
（2）如图2，①求y与x之间的函数关系式与自变量的取值范围；
②连接AC，当EF∥AC时，求x和y的值；
③当△CFG是直角三角形时，求x和y的值．

解：（1）作FM⊥CD于M，
∵△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2，
∴y=△FCG的面积= $\text{[math]}$ ；

（2）①∵△AEH∽△DHG，

∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴y=△FCG的面积= $\text{[math]}$ ，
∴1＜x≤8；
②∵△DHG∽△DAC，
∴ $\text{[math]}$ ，

即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
③当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，
∴△AEH∽△BCE
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
解得：x=2或x=6．
∴y=4或 $\text{[math]}$ ．
当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，
则△HAE∽△GDH，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：x=4+2 $\text{[math]}$ 或4-2 $\text{[math]}$ ，
对应的y=4+2 $\text{[math]}$ 或4-2 $\text{[math]}$ ．
当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能；
分析：（1）作FM⊥CD于M，根据正方形的性质可以得到△AEH≌△DHG≌△MGF，根据全等三角形的对应边相等，可得到结论．
（2）①因为△AEH∽△DHG，相似三角形的对应线段成比例，可求出y与x的函数式．
②连接AC，因为△DHG∽△DAC，而相似三角形的对应线段成比例，可求出y与x的函数式．
③由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，所以△AEH∽△BCE，根据相似三角形的对应线段成比例可求出解．
点评：本题考查了矩形的性质，正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质定理等知识点．