Question

 如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连结AE、AD、DC．

1.求证：D是弧AE的中点；

2.求证：∠DAO＝∠B＋∠BAD；

3.若，且AC＝4，求CF的长．

 

Answer 1

 

1.证明:AC为圆O的直径,则∠AEC=90°.

∵OD∥BC.     ∴OD⊥AE.      ∴点D是弧AE的中点.(垂径定理) 

2.延长AD交BC于G,由⑴知AD=DE，∴∠ACD=∠GCD

    ∵AC是⊙O直径，∴CD⊥AG, 从而证得CA=CG

    ∴∠CAG=∠AGC

      又∵∠AGC=∠B+∠BAD ∴∠DAO=∠B+∠BAD

3.∵S_△AOD= S_△OCD, ∴S_△ADC=2 S_△OCD

△CEF∽△CDA

      ∴  即 ，CF=2

解析:本题考查垂径定理的应用与相似三角形的性质。