题目内容

如图，二次函数y=- $数学公式$ x²+mx+m+ $数学公式$ 的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．
（1）当m= $数学公式$ 时，求tan∠ADH的值；
（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S₁、S₂，且满足S₁=S₂，求点D到直线BC的距离．

解：（1）∵当m= $\text{[math]}$ 时，y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴顶点D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），与x轴的交点A（-1，0），B（4，0），
∴DH= $\text{[math]}$ ，AH= $\text{[math]}$ -（-1）= $\text{[math]}$ ，
∴tan∠ADH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）y=- $\text{[math]}$ x²+mx+m+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-m）²+ $\text{[math]}$ ，
∴顶点D（m， $\text{[math]}$ ），
令y=- $\text{[math]}$ x²+mx+m+ $\text{[math]}$ =0，解得：x=-1或2m+1
则与x轴的交点A（-1，0），B（2m+1，0），
∴DH= $\text{[math]}$ ，AH=m-（-1）=m+1，
∴tan∠ADH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，
∴当∠ADH=30°时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴m=2 $\text{[math]}$ -1，
当∠ADH=45°时， $\text{[math]}$ =1，
∴m=1，
∴1≤m≤2 $\text{[math]}$ -1；

（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．
设过点B（2m+1，0），C（0，m+ $\text{[math]}$ ）的直线解析式为；y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
即y=- $\text{[math]}$ x+m+ $\text{[math]}$ ．
当x=m时，y=- $\text{[math]}$ m+m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴M（m， $\text{[math]}$ ）．
∴DM= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，AB=（2m+1）-（-1）=2m+2，
又，∵S_△DBC=S_△ABC，
∴ $\text{[math]}$ •（2m+1）=（2m+2）•（m+ $\text{[math]}$ ），
又∵抛物线的顶点D在第一象限，
∴m＞0，解得m=2．
当m=2时，A（-1，0），B（5，0），C（0， $\text{[math]}$ ），
∴BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ ×6× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
设点D到直线BC的距离为d．
∵S_△DBC= $\text{[math]}$ BC•d，
∴ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ •d= $\text{[math]}$ ，
∴d= $\text{[math]}$ ．
答：点D到直线BC的距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先将m= $\text{[math]}$ 代入y=- $\text{[math]}$ x²+mx+m+ $\text{[math]}$ ，运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再根据正切函数的定义即可求出tan∠ADH的值；
（2）先将y=- $\text{[math]}$ x²+mx+m+ $\text{[math]}$ 运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再由抛物线的对称性可知当60°≤∠ADB≤90°时，30°≤∠ADH≤45°，然后根据30°，45°角的正切函数值及锐角三角函数的增减性即可求出m的变化范围；
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．先运用待定系数法求出直线BC的解析式，则可用含m的代数式表示点M的坐标，再根据S_△DBC=S_△ABC求出m的值，从而得出A（-1，0），B（5，0），C（0， $\text{[math]}$ ），S_△ABC= $\text{[math]}$ ×6× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．设点D到直线BC的距离为d，根据S_△DBC= $\text{[math]}$ BC•d= $\text{[math]}$ ，即可求出d的值．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求函数的解析式，抛物线的顶点坐标公式，正切函数的定义，三角形的面积以及点到直线的距离的求法，综合性较强，有一定难度．其中（3）正确表示S_△DBC= $\text{[math]}$ DM•OB，从而根据S_△DBC=S_△ABC求出m的值是解题的关键．