Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．

（1）求证：AB＝BF．

（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【解析】

（1）连接AF，根据圆周角定理得到AF⊥EG，根据平行四边形的性质得到BD∥EG，推出BD垂直平分AF，于是得到AB=BF；

（2）根据直角三角形的性质得到BF=BC，求得AB=BC，得到∠C=30°，求得∠ABC=60°，AB=，AC=，于是得到结论．

解：（1）连接AF，

∵AE是⊙O的直径，

∴AF⊥EG，

∵四边形BDGE是平行四边形，

∴BD∥EG，

∴BD⊥AF，

∵∠BAC＝90°，

∴BD是⊙O的直径，

∴BD垂直平分AF，

∴AB＝BF；

（2）∵当F为BC的中点，

∴BF＝BC，

∵AB＝BF，

∴AB＝BC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠C＝30°，

∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，

∵AB＝BF，

∴∠ABD＝30°，

∴BD＝2，

∴⊙O的直径长为2．