题目内容
（2010•莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=
．（1）求直线AC的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线y=-x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．
【答案】分析：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，将A、C两点坐标代入即可求解；
（2）由题意得：若△DMC为等腰三角形，则可分为三种情况讨论，即DC为底；DM为底；CM为底三种情况；
（3）可根据对称性求得点O′的坐标，然后求得点E的坐标，由待定系数法求得新抛物线的解析式即可求得．
解答：
解：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，
又∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k=
，b=1
直线AC的函数解析式：y=
（2）若DC为底边，
∴M的横坐标为
，
则点M的坐标为（
，
）
∴直线DM解析式为：y=
x-
，
∴P（0，-
）；
若DM为底，则CD=CM=
，
∴AM=AN=
-
，
∴N（
-
，1），
可求得直线DM的解析式为y=（
+2）x-
（
+2），
∴P（0，
）
若CM为底，则CD=DM=
∴点M的坐标为（
，
）
∴直线DM的解析式为y=-
x+
，
∴点P的坐标为（0，
）
（3）根据对称性可得点O′的坐标为（
，1）或（2，1）
∴点E的坐标为（0，
）或（0，
）
∴设新抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k
∴h=
，k=
或h=
，k=
，
∴抛物线y=-x2经过向左平移
个单位，再向上平移
个单位；或向右平移
个单位，向上平移
个单位．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意答案的不唯一性，解题时要注意别漏解．
（2）由题意得：若△DMC为等腰三角形，则可分为三种情况讨论，即DC为底；DM为底；CM为底三种情况；
（3）可根据对称性求得点O′的坐标，然后求得点E的坐标，由待定系数法求得新抛物线的解析式即可求得．
解答：
解：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，又∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k=
，b=1直线AC的函数解析式：y=
（2）若DC为底边，
∴M的横坐标为
，则点M的坐标为（
，）∴直线DM解析式为：y=
x-，∴P（0，-
）；若DM为底，则CD=CM=
，∴AM=AN=
-，∴N（
-，1），可求得直线DM的解析式为y=（
+2）x-（+2），∴P（0，
）若CM为底，则CD=DM=
∴点M的坐标为（
，）∴直线DM的解析式为y=-
x+，∴点P的坐标为（0，
）（3）根据对称性可得点O′的坐标为（
，1）或（2，1）∴点E的坐标为（0，
）或（0，）∴设新抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k
∴h=
，k=或h=，k=，∴抛物线y=-x2经过向左平移
个单位，再向上平移个单位；或向右平移个单位，向上平移个单位．点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意答案的不唯一性，解题时要注意别漏解．
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