Question

操作：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，图1、2、3是旋转三角板得到的图形中的三种．
探究：（Ⅰ）三角板绕P点旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？它们的关系为

 

，并以图2为例，加以证明；
（Ⅱ）如图4，若三角板直角顶点放在斜边AB上的M处，且

AM

MB

=

1

3

．和前面一样操作，试问线段DM和ME之间的数量关系为

 

，先补全图4，然后加以证明．

Answer 1

分析：（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；
（2）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．

解答：解：（1）连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；

 （2）MD：ME=1：3．
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵

CH

HB

=

AM

MB

=

1

3

，HB=MH，
∴

MF

MH

=

1

3

．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴

MD

ME

=

MF

MH

=

1

3

．

点评：此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，勾股定理的计算要求也比较高．