Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“”表示.

现请在以W（-3，0）为圆心，半径为2的⊙W圆上，根据以下条件解答所提问题：

（1）已知弦MN长度为2.

①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的的长度；

②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的的取值范围.

（2）已知点,点N为⊙W上的一动点，有直线，求到直线的的最大值.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）d中的最大值为.

【解析】

（1）①如图3，连接PW、OP、MW，由已知易得PW=，∠PWO=90°，OW=3，这样在Rt△PWO中由勾股定理即可求得此时点P到原点O的弦中距d中=；②由题意可知，当弦MN在⊙W上运动时，点P的运动路线是以点W为圆心，PW为半径的圆，如图4，画出对应的图形，由图结合PW=，即可得到此时点P到原点O的弦中距d中的取值范围了；

（2）由题意易得当点N在⊙W上运动时，点P在以D为圆心，WM为直径的圆上运动，由此画出符合题意的图形如图5，作直线l平行于直线y=x-2，则由图可知，当直线l与⊙D相切，且弦中距d中过圆心D时，点P到直线l的弦中距d中最大，则此时点P到直线y=x-2的弦中距也最大，这样结合已知条件进行计算即可求得所求的值了.

（1）①如图3，连接PW、OP、MW，

∵点P是MN的中点，MN=2，

∴PW⊥MN，MP=1，

∵MN∥x轴，

∴PW⊥x轴，

∴∠PWO=90°，

∵OW=3，

∴在Rt△PWO中，PO=，

∴此时点P到原点O的弦中距：d中=；

②由题意可知，当弦MN在⊙W上运动时，点P的运动路线是以点W为圆心，PW为半径的圆，如图4，

∵PW=，OW=3，

∴此时点P到原点O的弦中距d中的取值范围为：<d中<；

（2）如图5，∵P是弦MN的中点，

∴WP⊥MN，

∴当点N在⊙W上运动时，点P在以D为圆心，WM为直径的圆上运动，

∵W的坐标为（-3，0），点M的坐标为（-5，0），

∴点D的坐标为（-4，0），

作直线l平行于直线y=x-2，则当点P到直线l的弦中距最大时，点P到直线y=x-2的弦中距就最大，

由图可知，当直线l与⊙D相切，且弦中距d中过圆心D时，点P到直线l的弦中距d中最大，

设直线y=x-2与x轴交于点E，过点D作直线y=x-2的垂线交直线于点F，

∵直线y=x-2与x轴相交形成的锐角为45°，点E的坐标为（2，0），

∴DE=6，

∴DF=DE·sin45°=，即此时直线l到直线y=x-2的距离为，

∴点P到直线y=x-2的最大距离为：，即d中的最大值为：.