Question

【题目】数学课上，同学们遇到这样一个问题：

如图1，已知， ，、分别是与 的角平分线，请同学们根据题中的条件提出问题，大家一起来解决（本题出现的角均小于平角）

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小强说：“如图2，若与重合，且，时，可求的度数．”

小伟说：“在小强提出问題的前提条件下，将的边从边开始绕点逆时针

转动，可求出的值．”

老师说：“在原題的条件下，借助射线的不同位置可得出的数量关系．”

(1)请解决小强提出的问题；

(2)在备用图1中，补充完整的图形，并解决小伟提出的问题

(3)在备用图2中，补充完整的图形，并解决老师提出的问题，即求三者之间的的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）；（3）、、180、180．

【解析】

（1）根据角平分线定义即可解决小强提出的问题；

（2）在备用图1中，补充完整的图形，根据角平分线定义及角的和差计算即可解决小伟提出的问题；

（3）在备用图2中，补充完整的图形，分四种情况讨论即可解决老师提出的问题，进而求出三者之间的数量关系．

（1）如图2，

∵∠AOB＝120，OF是∠BOC的角平分线

∴∠FOC＝∠AOB＝60

∵∠COD＝30，OE是∠AOD的角平分线

∴∠EOC＝∠COD＝15

∴∠EOF＝∠FOC∠EOC＝45

答：∠EOF的度数为45；

（2）如图3，

∵OE、OF分别是∠AOD与∠BOC的角平分线，

∴设∠AO＝∠DOE＝∠AOD＝

∠BOF＝∠COF＝∠BOC＝

∴∠BOE＝∠AOB∠AOE＝120

∵∠BOC＝∠AOB＋∠COD∠AOD＝1502

∴∠COF＝75

∴∠DOF＝∠COF∠COD＝7530＝45°

∴∠BOE∠DOF＝（120）（（45）＝75

∵∠COE＝∠COD∠DOE＝30

∴∠EOF＝∠FOC∠COE＝（75）（30）＝45

∴＝

答：的值为；

（3）∵OE、OF分别是∠AOD与∠BOC的角平分线，

∴设∠AOE＝∠DOE＝∠AOD＝

∠BOF＝∠COF＝∠BOC

∴①如图4，

∠AOC＝∠AOD∠COD＝2β

∵∠BOC＝∠AOB∠AOC

＝（2）

＝2＋

∴∠FOC＝∠BOC＝ ＋

∵∠COE＝∠DOE∠COD＝

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝＋＋

＝（）．

②如图5，

∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝2＋

∵∠BOC＝∠AOB∠AOC

＝（2＋）

＝2

∴∠FOC＝∠BOC＝

∵∠COE＝∠DOE＋∠COD＝＋

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝＋＋

＝（＋）．

③如图6，

∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝2＋

∵∠BOC＝360∠AOB∠AOC

＝360（2＋）

＝3602

∴∠FOC＝∠BOC＝180

∵∠COE＝∠DOE＋∠COD＝＋

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝180＋＋

＝180（）．

④如图7，

∠AOC＝∠AOD∠COD＝2

∵∠BOC＝360∠AOB∠AOC

＝360（2）

＝3602＋

∴∠FOC＝∠BOC＝180＋

∵∠COE＝∠DOE∠COD＝β

∴∠EOF＝∠FOC＋∠COE

＝180 ＋＋

＝180（＋）．

答：、β、∠EOF三者之间的数量关系为：（）、（＋）、180（）、180（＋）．