Question

（2013•拱墅区一模）如图，在R t△AOB中，已知AO=6，BO=8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB-BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动．设移动时间为x秒：
（1）当x=2时，求△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，求x的值；
（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据点E、F的运动速度求得2秒后△AEF的两直角边AE=2，OF=6，所以由三角形的面积公式即可求得△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，则由相似三角形的对应边成比例列出关于x的方程，通过解方程可以求得x的值；
（3）分段讨论：①当点F在OB边上运动时，△AEF的面积=

1

2

AE•OF；②当点F在边AB上运动时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，由平行线分线段成比例求得FH=

72-12x

5

．则△AEF的面积=

1

2

AE•FH．

解答：解：（1）当x=2时，AE=2，OF=6，则S_△AEF=

1

2

AE•OF=

1

2

×2×6=6，即△AEF的面积是6；

（2）∵在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，
∴根据勾股定理得，AB=

AO2+BO2

=10．
当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，
∴

18-3x

10

=

x

6

，解得x=

27

7

；

（3）当F与B重合时，x=

8

3

，∴分两段讨论：
①0＜x≤

8

3

时，F在OB上移动，y=

1

2

x•3x=

3

2

x2；
②

8

3

＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，
则

FH

BO

=

AF

AB

即

FH

8

=

18-3x

10

，
∴FH=

72-12x

5

∴y=

1

2

x•

72-12x

5

=-

6

5

(x2-6x)．

点评：本题考查了相似综合题．涉及到的知识点有：勾股定理，相似三角形的判定与性质以及三角形的面积计算．解答（3）题时，如果没有分段，也应写出x的取值范围．