Question

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

（1）证明：过O作ON⊥CD于N，连接OM，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴AB∥OM∥DC，
∵AC为正方形ABCD对角线，


∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，
∵OM=ON，
∴CD与⊙O相切；

（2）由（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径，
∴OM=MC=1，
∴OC²=OM²+MC²=1+1=2，
∴OC=

2

．
∴AC=AO+OC=1+

2

，
在Rt△ABC中，AB=BC，
有AC²=AB²+BC²，
∴2AB²=AC²，
∴AB=

1+ 2

2

=

2 +2

2

．
故正方形ABCD的边长为

2 +2

2

．