题目内容

已知 A（-4，0）B （0，4）以A点为位似中心将OB向右侧放大，得到点B的对应点C，且 $数学公式$ ．
（1）求C点的坐标；
（2）若抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴的正半轴上，求抛物线的解析式．
（3）点P在（2）中的抛物线上，且到直线AB的距离为 $数学公式$ ，求点P的坐标．

解：（1）设点C的坐标为（x，y），
∵A（-4，0）、B（0，4）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x=5，y=9，
∴点C（5，9）；

（2）∵B（0，4），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+4，
∵C（5，9），
∴25a+5b+4=9，
∴b=1-5a，
∴抛物线解析式为y=ax²+（1-5a）x+4，
∵△=b²-4ac=（1-5a）²-16a=0，
∴25a²-26a+1=0，
解得a₁=1，a₂= $\text{[math]}$ ，
∵x=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ＞0，

解得a＜0或a＞ $\text{[math]}$ ，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4；

（3）如图，过点O作BC的垂线交BC于点N，设点P所在的直线ME交y轴于点E，交BC的垂线于点M，
则MN=3 $\text{[math]}$ ，
∵A（-4，0）、B（0，4），
∴AO=4，OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=AO•sin45°=4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴OM=ON+MN=2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OE= $\text{[math]}$ OB= $\text{[math]}$ ×4=10，
∴点E的坐标为（0，10），
∴直线ME的解析式为y=x+10
由 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
同理：点F为（0，-2），
由 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为（-1，9）或（6，16）或（2，0）或（3，1）．
分析：（1）设点C的坐标为（x，y），然后根据位似比列式求出a、b的值，即可得解；
（2）根据点B、C的坐标设出抛物线的解析式，再根据顶点落在x轴的正半轴上可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以△=b²-4ac=0，且x=- $\text{[math]}$ ＞0，从而求出抛物线的解析式；
（3）过点O作BC的垂线交BC于点N，根据点A、B的坐标可知△AOB是等腰直角三角形，然后求出ON的长度，设点P所在的直线ME交y轴于点E，交BC的垂线于点M，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，然后求出直线ME的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标，同理当点E在点B的下方时，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解得到点P的坐标，从而得解．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，点到直线的距离，位似变换的性质，等腰直角三角形的性质，函数图象的交点的求解方法，综合性较强，难度较大，根据顶点在x轴的正半轴上求出抛物线的解析式是解题的关键．