Question

如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若图中阴影部分的面积是

3

4

πcm²，OA=2cm，求OC的长．

Answer 1

分析：（1）求证：AC=BD，则需求证△AOC≌△BOD，利用已知条件证明即可．
（2）从图中可以得S_阴影就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．

解答：（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD；
∴∠AOC=∠BOD；
在△AOC和△BOD中，
∵

OA=OB ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
∴AC=BD．

（2）解：根据题意得：S_阴影=

90π•OA2

360

-

90π•OC2

360

=

90π•(OA2-OC2)

360

；
∴

3

4

π=

90π(22-OC2)

360

；
解得：OC=1（cm）．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、扇形面积的计算方法等知识点．