题目内容
如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由
（1）四边形ADEF是什么四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形．
（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．
（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
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