Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为线段AB上一动点（不与A，B重合），将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA•BQ=AP•BP；
（2）线段AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并求出l的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根据等式PA²+AO²=PB²+BQ²可求得m的值，从而就可确定点P的坐标；
（3）由第一问可求得BQ的值，从而求得l=3-

4m-m2

3

，所以可得到当m=2时，l有最小值求出即可．

解答：解：（1）证明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
又∵∠OAB=∠PBQ=90°，
∴△OAP∽△PBQ，
则

AP

OA

=

BQ

BP

，即OA•BQ=AP•BP．

（2）∵△POQ是等腰三角形，
①若P在线段AB上，
∵∠OPQ=90°，
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）；
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3）；
③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立；
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ为等腰三角形；

（3）解：∵由（1）知，OA•BQ=AP•BP，OA=3，AP=m，BP=4-m，
∴BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

=

1

3

（m²-4m+4）+

5

3

=

1

3

（m-2）²+

5

3

，
∴当m=2时，l有最小值．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及二次函数的最值问题，涉及面较广，难度适中．