Question

18．已知m，n是关于x的一元二次方程x²-2tx+t²-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）

• A． 7
• B． 11
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t²-2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）²+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．

解答 解：∵m，n是关于x的一元二次方程x²-2tx+t²-2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t²-2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t²+2t+8=（t+1）²+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（-2t）²-4（t²-2t+4）=8t-16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）²+7≥（2+1）²+7=16．
故选D．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）²+7是解题的关键．