Question

（2012•北辰区一模）如图，平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，点B（4，3），将△OAB绕原点O逆时针旋转，使点A恰好落在OB上的C点，得△OCE，此时点E的坐标是

（

7

5

，

24

5

）

．

Answer 1

分析：过点E作EF⊥x轴于点F，交OB于点G，根据旋转变换的性质可得EC=AB，OC=OA，然后根据同角的余角相等求出∠GOF=∠GEC，利用解直角三角形求出CG、EG的长度，然后求出OG的长度，再解直角三角形求出OF、GF的长度，然后得到EF的长度，最后根据点E在第一象限写出坐标即可．

解答：解：过点E作EF⊥x轴于点F，交OB于点G，
∵点B（4，3），
∴AB=3，OA=4，OB=

32+42

=5，
∵△OAB绕原点O逆时针旋转得△OCE，
∴EC=AB=3，OC=OA=4，
∵∠GOF+∠OGF=90°，∠GEC+∠EGC=90°，∠OGF=∠EGC（对顶角相等），
∴∠GOF=∠GEC，
在Rt△CEG中，CG=EC•tan∠GEC=3×

3

4

=

9

4

，
EG=EC÷cos∠GEC=3÷

4

5

=

15

4

，
所以，OG=OC-CG=4-

9

4

=

7

4

，
在Rt△OGF中，GF=OG•sin∠GOF=

7

4

×

3

5

=

21

20

，
OF=OG•cos∠GOF=

7

4

×

4

5

=

7

5

，
所以，EF=EG+GF=

15

4

+

21

20

=

24

5

，
∵点E在第一象限，
∴点E（

7

5

，

24

5

）．
故答案为：（

7

5

，

24

5

）．

点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线是解题的关键．