Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　）

A．①②③     B．①②④     C．①③④     D．②③④

　

Answer 1

B【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】（1）由作图可得出直线ED为线段BC的中垂线，即可得出①ED⊥BC正确；

（2）由直角三角形斜边中线相等可得AE=BE，∠A=∠EBA；故②正确；

（3）利用假设法证明得出△ABE为等边三角形与△ABE为等腰三角形矛盾．故③错误；

（4）利用ED是△ABC的中位线可得ED=AB，故④正确．

【解答】解：由题意可得直线ED为线段BC的中垂线，

∴ED⊥BC；故①正确；

∵∠ABC=90°，ED⊥BC；

∴DE∥AB，

∵点D是BC边的中点，

∴点E为线段AC的中点，

∴AE=BE，

∴∠A=∠EBA；故②正确；

如果EB平分∠AED；

∵∠A=∠EBA，DE∥AB，

∴∠A=∠EBA=∠AEB，

∴△ABE为等边三角形．

∵△ABE为等腰三角形．故③错误；

∵点D是BC边的中点，点E为线段AC的中点，

∴ED是△ABC的中位线，

∴ED=AB，故④正确．

故选：B．

【点评】本题主要考查了基本作图及线段的垂直平分线，解题的关键是确定ED是为线段BC的中垂线．