Question

已知：如图，在△ABC中，D为A月边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB·AD。
 （1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的长；
（3）试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形。

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC=BC，∠A=36°，
∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108°，
在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°，
∵AC²=AB·AD，
∴，
∴△ABC∽△CAD，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°，
∴△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）设AC=x，则AD=1-BD=1-BC=1-2x，
∴x²=1×（1-x），即x²+x-1=0，
解得（舍去），
∴；
 （3）说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分。