Question

如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AE=CE；
（2）若AD=4，AE=，求DG的长．

Answer 1

（1）证明：连结CD，                 

20题图

∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切线.
又∵DE与⊙O相切，
∴ED="EC"
∴∠1=∠3.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠2.
∴ED=EA.
∴AE=CE.
（2）解：∵AE=,
∴AC=2AE=．
在Rt△ACD中， 
∴
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠4.
∴
∴ 
∵DG⊥BC于点F，
∴DG=2DF=．

解析试题分析：（1）连结CD，根据切线的判定可得AC是⊙O的切线，根据切线长定理可得ED="EC" ，可得∠1=∠3，由BC为⊙O的直径，可得∠BDC=90°，可推出∠A=∠2.，可得ED=EA，据此即可得出结论；（2）由（1）可求出AC的值，根据勾股定理可得CD的值，可得 ，根据DG⊥BC，可得DG=2DF，计算即可得出答案.
考点：圆周角定理；切线长定理；切线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；垂径定理.
点评：本题主要考查了圆周角定理，切线长定理，切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，垂径定理.解答本题的关键是熟练掌握基本定理的综合运用.