Question

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB-AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标；
（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式；
（3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为M、N均为动点，只有FG已经确定，所以可从此入手，按照FG为一边、FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得M点的纵坐标，再利用直线解析式求出M点的横坐标，从而求得M点的坐标．
解答：解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=90°
BG===
∴G点的坐标为（3，4-）；
 
（2）设直线EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中，cos∠BFG==
∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2
∴E点的坐标为（0，4-2）
又F点的坐标是（2，4）
∴
解得k=，b=4-2；
∴直线EF的解析式为y=x+4-2；
注：
求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4-2，所以E（0，4-2）；
求E点坐标方法三：过点E作EP⊥BC于点P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG²=GP²+EP²，得到OE=4-2，所以E（0，4-2）；
求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4-2，所以E（0，4-2）．

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．
过M₁点作M₁H⊥x轴于点H，
∵M1N1∥FG，
∴∠HN1M1=∠HQF，
又∵AB∥OQ，
∴∠HQF=∠BFG，
∴∠HM₁N₁=∠BFG
又∵∠M₁HN₁=∠B=90°，M₁N₁=FG，
∴△M₁HN₁≌△GBF，
∴M₁H=GB=，即y_M1=．
由直线EF解析式y=x+4-2，求出x_M1=3-．
∴M₁（3-，）；
②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．
仿照与①相同的办法，可求得M₂（1-，-）；
③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．
过M₃作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M₃FH≌△GN₃C，则有M₃H=CG=4-，所以M₃的纵坐标为8-；
代入直线EF解析式，得到M₃的横坐标为1+．
∴M₃（1+，8-）．
综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．
点M的坐标为：M₁（3-，），M₂（1-，-），M₃（1+，8-）．
点评：本题考查了直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，对解题能力要求较高．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．