Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t=4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当t=4时，B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）
代入得：，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+6．
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴===，
∴BE=AO=3，CE=OB=，
∴点C的坐标为（t+3，）．
方法一：S_梯形AOEC=OE（AO+EC）=（t+3）（6+）=t²+t+9，
S_△AOB=AO·OB=×6t=3t，
S_△BEC=BE·CE=×3×=t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC﹣S_△AOB﹣S_△BEC=t²+t+9﹣3t﹣t=t²+9．
方法二：∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=AB·BC=BC²．
在Rt△ABC中，BC²=CE²+BE²=t²+9，
即S_△ABC=t²+9．
（3）存在，理由如下：①当t≥0时，I．若AD=BD，
又∵BD∥y轴，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，

又∵∠AOB=∠ABC，∴△ABO∽△ACB，
∴==，
∴=，
∴t=3，即B（3，0）．
II．若AB=AD．延长AB与CE交于点G，又∵BD∥CG，
∴AG=AC，过点A画AH⊥CG于H．
∴CH=HG=CG，
由△AOB∽△GEB，得=，
∴GE=．
又∵HE=AO=6，CE=，
∴+6=×（+），
∴t²﹣24t﹣36=0，解得：t=12±6．
因为t≥0，所以t=12+6，即B（12+6，0）．
III．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为锐角，
故BD≠AB．
当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．
∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况．
②当﹣3≤t＜0时，
如图，∠DAB是钝角．设AD=AB过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F．
可求得点C的坐标为（t+3，），
∴CF=OE=t+3，AF=6﹣，
由BD∥y轴，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴=，
∴=，
∴t²﹣24t﹣36=0，
解得：t=12±6．因为﹣3≤t＜0，
所以t=12﹣6，即B（12﹣6，0）．
③当t＜﹣3时，如图，∠ABD是钝角．设AB=BD，
过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标为（t+3，），
∴CF=﹣（t+3），AF=6﹣，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD∥y轴，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6﹣=﹣2（t+3），
解得：t=﹣8，即B（﹣8，0）．
综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，
此时点B坐标为：B₁（3，0），B₂（12+6，0），B₃（12﹣6，0），B₄（﹣8，0）．