Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，
直线：与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（－4,1），⊙B与
轴相切于点M.

小题1:求点A的坐标及∠CAO的度数
小题2:⊙B以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，同时，直线绕点A逆时针匀速旋转.当⊙B第一次与⊙O相切时，直线也恰好与⊙B第一次相切，问：直线绕点A
每秒旋转多少度？
小题3:如图2，过A、O、C三点作⊙O₁，点E为劣弧AO上一点，连接EC、EA、EO，
当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合)，的值是否发生变化？如
果不变，求其值；如果变化，说明理由.

Answer 1

 
小题1:当时，，
∴A（,0）.----------------------------------------------------------1分
当时，，
∴C（,0），
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA.---------------------------------------------------------2分
∵OA⊥OC，
∴∠CAO＝45°.----------------------------------------------------------3分
小题2:如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处时与⊙O第一次相切.
设⊙B₁与x轴相切于点N，连接OB₁，

∵点B的坐标为（－4,1），⊙B与轴相切于点M，
∴⊙B的半径是1，OM＝4，
∴B₁N＝1.
∵⊙O的半径是，
∴OB₁＝，
∴ON＝，
∴MN＝OM―ON＝4―1＝3.
∴当⊙B第一次与⊙O相切时,t＝3.----------------------------------------6分
当⊙B第一次与⊙O相切时，直线旋转到直线AP的位置，P是直线与⊙B₁的切点.
∵ON＝B₁N＝1，∠B₁NO＝90°，
∴∠B₁ON＝∠OB₁N＝45°.
∵OA＝OB₁＝，
∴∠OAB₁＝∠OB₁A＝∠B₁ON＝22.5°.------------------------------------7分
∵AP、AN都是⊙B1的切线，
∴AP＝AN，∠B₁PA＝∠B₁NA＝90°.
∴△B₁AP≌△B₁AN，
∴∠B₁AP＝∠B₁AN＝22.5°，
∴∠PAN＝45°.----------------------------------------------------------8分
∴∠PAC＝∠PAN＋∠NAC＝90°.
∴直线旋转角是90°.---------------------------------------------------9分
∴旋转的速度＝90°÷3＝30°.--------------------------------------------10分
小题3:的值不变，等于． -------------------------------------11分
如图，在CE上截取CK=EA，连接OK，--------------------------------------12分

∵∠OAE=∠OCK，OA=OC．
∴△OAE≌△OCK．
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°．
∴EK=EO，-----------------------------------------------------------13分
∴--------------------

 略