Question

如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式a=

b2-9 + 9-b2

b+3

+2．
（1）求a，b的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，

1

3

），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次根式的性质得出b²-9=0，再利用b+3≠0，求出b的值，进而得出a的值；
（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，
（3）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，求出三角形ABC的面积，当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3-m=6，得m=-3，即可进行求解．

解答：解：（1）∵a，b满足关系式a=

b2-9 + 9-b2

b+3

+2，
∴b²-9=0，b+3≠0，
∴b=3，a=2；

（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，∴m＜0，S_APOB=S_△AOB+S_APO=

1

2

×2×3+

1

2

×（-m）×2=3-m．
故四边形ABOP的面积为3-m；

（3）由题意可得出：点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S=

1

2

BC•AH=

1

2

×4×3=6；
当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3-m=6，得m=-3，
此时P点坐标为：（-3，

1

3

），
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．

点评：本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积公式，难度较大，关键根据题意画出图形，认真分析解答．