Question

【题目】（题文）（题文）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当△ECD的面积S1= 时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）△ABE≌△CBF，证明见解析；（2）；（3）S2﹣S1=，证明见解析；（4）3

【解析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；

（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；

（3）结论：S2-S1=．利用全等三角形的性质即可证明；

（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x-，由CD∥AB，可得，即，求出x即可；

（1）结论：△ABE≌△CBF．

理由：如图1中，

∵△ABC，△BEF都是等边三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF．

（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，

∵S四边形ABCF=，

∴S△ABE=，

∴AEABsiin60°=，

∴AE=．

（3）结论：S2-S1=．

理由：如图2中，

∵△ABC，△BEF都是等边三角形，

∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF，

∴S△ABE=S△BCF，

∵S△BCF-S△BCE=S2-S1，

∴S2-S1=S△ABE-S△BCE=S△ABC=．

（4）由（3）可知：S△BDF-S△ECD=，

∵S△ECD=，

∴S△BDF=，

∵△ABE≌△CBF，

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，

∴∠ABC=∠DCB，

∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，

设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，

∴CD=x-，

∵CD∥AB，

∴，即，

化简得：3x2-x-2=0，

解得x=1或（舍弃），

∴CE=1，AE=3．