Question

已知抛物线图象经过点A(3，0)，顶点坐标(0，3)．

(1)写出抛物线的解析式．

(2)当y≤－1时，x的取值范围．

(3)在顶点与x轴的两交点的图象中，是否存在着一个以原点为圆心，半径为3的半圆在此图象内，请结合图象给于说明．(草图)

Answer 1

答案：
解析：

(1)设所求的抛物线解析式为y＝a(x－h)2＋k，由A(3，0)，顶点坐标(0，3)得： 　　a(3－0)2＋3＝0，∴a＝－，∴y＝－x2＋3． 　　(2)当y≤－1时，即－x2＋3≤－1，x2－12≥0，解得：x≤－2或x≥2．∴当x≤－2或x≥2时，y≤－1． 　　(3)由y＝－x2＋3．得抛物线与x轴的两交点坐标分别为(－3，0)，(3，0).其抛物线图象大致如图，设第一象限抛物线上一点P1(x1，y1)与圆上点P(x，y)重合，令x1＝x，(0＜x1＜3)，由y＝－x2＋3得x12＝9－3y1． 　　由圆得x2＝9－y2．∴9－3y1＝9－y2，∴y2＝3y1，y＝，∵0＜y1＜3，∴y＞y1．即OP1＜OP．∴除抛物线与y轴正半轴和x轴两交点在圆上外，其余部分都不存在着一个圆心在原点半径为3的半圆在此图象内．