题目内容
【题目】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP= °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【答案】（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，证明详见解析；（3）
【解析】
(1)∠QEP=60°；
证明：连接PQ，
∵PC=CQ,且∠PCQ=60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA(SAS)，
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°.
故答案为：60；
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例。
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC,∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ,∠PCQ=60°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°,∠ACP=15°，
∴∠APC=30°,∠PCB=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=
AC=×4=
，
在Rt△PHC中,PH=
CH=
，
∴PA=PHAH=-，
∴BQ=
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