Question

1．如图，直线l₁：y=-x+6与x轴交于点B，与直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x交与点A，点E为线段OA的中点，点F为线段CD的中点，长为2的动线段CD（端点C从原点O开始）在线段OB上以每秒1个单位的速度向点B运动，当端点D到达点B时运动停止．设运动时间为t秒，那么当t=$\frac{7}{3}$秒时，四边形AECF的周长最小．

Answer 1

分析 y=-x+6与y=$\frac{1}{2}$x联立，从而可解得A的坐标，根据点E是OA的中点，可得出点E的坐标，作CE关于x轴的对称线段，CE′，将CE′向右平移至FE″，当FE″与AF共线时四边形AECF的周长最小，然后求得AE″的直线解析式，将点F的坐标代入可求出t的值．

解答 解：如图，作CE关于x轴的对称线段CE′，将CE′向右平移至FE″．

将y=-x+6与y=$\frac{1}{2}$x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即点A的坐标为（4，2），
∵点E是OA的中点，
∴点E的坐标为（2，1）．
∵C（t，0），CD=2，点F是CD的中点，
∴CF=1，点F（t+1，0）．
∵点E与点E′关于x轴对称，
∴点E′的坐标为（2，-1），CE=CE′．
由平行的性质可知：点E″的坐标为（3，-1），E″F=CE′=CE．
设过A（4，2），E″（3，-1）两点的直线表达式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴直线AE″的表达式为：y=3x-10．
∵AE和CF的长度固定不变，
∴当EC+AF最短时，四边形AECF的周长最小．
∵EC+AF=FE″+AF，
∴当点A、E″F在一条直线上时，EC+AF有最小值．
将点F（t+1，0）代入y=3x-10得；3（t+1）-10=0．
解得：t=$\frac{7}{3}$．
∴当t=$\frac{7}{3}$时，四边形AECF的周长最小．
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了一次函数综合应用，涉及了动点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行的性质，明确当点A、E″F在一条直线上时，四边形的周长最小是解题的关键．