题目内容

如图所示，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若∠ACB=90°， $数学公式$ ．
试求：（1）A、B两点的坐标；
（2）二次函数的表达式．

解：（1）在Rt△OBC中，BC= $\text{[math]}$ ，OC=2，
由勾股定理得OB= $\text{[math]}$ =1，
由△AOC∽△COB，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得AO=4，
∴A（-4，0），B（1，0）；

（2）∵抛物线与x轴交于A（-4，0），B（1，0）两点，
∴设抛物线解析式y=a（x+4）（x-1），
将C（0，2）代入解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ （x+4）（x-1），即y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+2．
分析：（1）根据题意可知，BC= $\text{[math]}$ ，OC=2，由勾股定理可求OB，再由△AOC∽△COB，利用相似比求OA，可确定A、B两点坐标；
（2）根据A、B两点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C（0，2）代入求a即可．
点评：本题考查了点的坐标的求法．根据抛物线上点的坐标的特点，合理地选择抛物线解析式，能使求解更简便．

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