Question

如图，△ABC中，AC=5，BC=10，BC上的高为4，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒；
（1）是否存在某一时刻使得MN垂直平分AC？若存在，请求出t；若不存在，说明理由．
（2）直接写出t为何值时，△MNC为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）首先过点A作AD⊥BC于点D，则AD=4，可求得CD的长，易得△ADC∽△MNC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（2）分别从①CM=CN，②若CN=MN，③若MN=CM，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）存在．
过点A作AD⊥BC于点D，则AD=4，
∵AC=5，
∴CD=

AC2-AD2

=3，
∵∠C是公共角，∠ADC=∠MNC，
∴△ADC∽△MNC，
∴CD：CN=AC：MC，
∵BM=2t，CN=t，
∴MC=BC-BM=10-2t，
∴

3

t

=

5

10-2t

，
解得：t=

30

11

，
∴当t=

30

11

时，MN垂直平分AC；

（2）若①CM=CN，则10-2t=t，
解得：t=

10

3

；
②若CN=MN，过点N作NE⊥BC于点E，
则CE=

1

2

CM=

1

2

（10-2t）=5-t，
∵△CEN∽△CDA，
∴

CN

CA

=

CE

CD

，
即

t

5

=

5-t

3

，
解得：t=

25

8

；
③若MN=CM，同理可得：t=

60

17

．
综上可得：t=

10

3

或

25

8

或

60

17

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．