Question

已知关于x的方程x²﹣（2k﹣3）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．

（1）求k的取值范围；

（2）试说明x₁＜0，x₂＜0；

（3）若抛物线y=x²﹣（2k﹣3）x+k²+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．

Answer 1

解：（1）由题意可知：△=【﹣（2k﹣3）】²﹣4（k²+1）＞0，

即﹣12k+5＞0                

∴．                            

 

（2）∵，

∴x₁＜0，x₂＜0．                       

 

（3）依题意，不妨设A（x₁，0），B（x₂，0）．

∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=﹣（x₁+x₂）=﹣（2k﹣3），

OA•OB=|﹣x₁||x₂|=x₁x₂=k²+1，

∵OA+OB=2OA•OB﹣3，

∴﹣（2k﹣3）=2（k²+1）﹣3，

解得k₁=1，k₂=﹣2．                  

∵，

∴k=﹣2．