Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．

（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；

（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；

（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

 

  

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），

∴x=m或x=n时，y都为0，

∵m＞n，且点A位于点B的右侧，

∴A（m，0），B（n，0）．

∵m=2，n=1，

∴A（2，0），B（1，0）．

（2）∵抛物线y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），

∴﹣1=mn，

∴n=﹣，

∵B（n，0），

∴B（﹣，0）．

∵AO=m，BO=﹣，CO=1

∴AC==，

  BC==，

  AB=AO+BO=m﹣，

∵（m﹣）²=（）²+（）²，

∴AB²=AC²+BC²，

∴∠ACB=90°．

（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，

∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．

∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，

∴AC==，

  BC==|n|，

  AB=x_A﹣x_B=2﹣n．

①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；

②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；

③当BC=AB时，|n|=2﹣n，

当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，

当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．

综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．