Question

【题目】已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．

（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．

（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）,；（3）存在，P(，)或(﹣，﹣)

【解析】

（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，

∴OC=OA=2，∠BOC=∠BAO=30°，

∴∠AOC=30°+30°=60°，

过点C作CD⊥OA于D，

则OD=×2=，

CD=2×=3，

所以，顶点C的坐标为（，3），

设过点O，C，A抛物线的解析式为为y=ax2+bx，

则，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；

（2）∵C（，3），

∴直线OC的解析式为：，

设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为，
联立，
消掉未知数y并整理得，，
△=（）2-4m=0，
解得：m=．

∴，

∴；
∴点M到OC的最大距离=×sin30°=；

∵，

∴；

此时，M，最大面积为；

（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，

∴，

∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），

当直线AP经过点（，0）、（0，2）时，解析式为，

联立，

解得，．

所以点P的坐标为（，），

当直线AP经过点（，0）、（0，﹣2）时，解析式为，

联立

解得，；

所以点P的坐标为（，）．

综上所述，存在一点P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP=∠BOA．