Question

（2012•金山区二模）如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．
（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．

Answer 1

分析：（1）首先根据AD∥BC，PE∥AC，判定四边形APEC是平行四边形，从而得到AC=PE=6，AP=EC=x，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式用含x的代数式表示PO；
（2）根据AB=BC=5，利用等边对等角得到∠BAC=∠BCA，再根据∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，得到∠APE=∠AOP，设AP=AO=x，用含x的式子表示OQ=5-2x，利用△OHQ∽△AFB表示出y与x的函数关系式即可；
（3）根据当0＜x＜

5

2

时，由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，可得若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，于是得

6

5

x=5-2x，解得x的值即可．

解答：解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴四边形APEC是平行四边形，
∴AC=PE=6，AP=EC=x，
∵

PA

BE

=

PO

OE

，
∴

x

5-x

=

PO

6-PO

，
∴PO=

6

5

x；

（2）∵AB=BC=5，
∴∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，
∴AP=AO=x，
∴当0＜x＜

5

2

时，OQ=5-2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，
则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4．
∵∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴

QH

BF

=

OQ

AB

，
∴

QH

4

=

5-2x

5

，
∴QH=

4(5-2x)

5

=-

8

5

x+4，
∴y=-

24

25

x2+

12

5

x，
所以y与x的函数关系式是y=-

24

25

x2+

12

5

x(0＜x＜

5

2

)；

（3）当0＜x＜

5

2

时，
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，
由于∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP=OQ，
于是得

6

5

x=5-2x，
解得x=

25

16

，
同理当

5

2

＜x＜5，
可得x=

25

4

（不合题意，舍去）．
所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为

25

16

．

点评：本题主要考查了相似三角形的综合知识，根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系．