题目内容

如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP=3 $数学公式$ ，PE⊥PB交CD于点E，则PE=________．

$\text{[math]}$
分析：作辅助线，连接BE，根据AB，AP的长和∠BAP的度数，可将BP²表示出来，同理可将PE²，BE²表示出来，在Rt△BPE中，根据勾股定理BP²+PE²=BE²，可将CE的长求出，进而可将PE的长求出．
解答：

解：连接BE，设CE的长为x
∵AC为正方形ABCD的对角线，正方形边长为4，CP=3 $\text{[math]}$
∴∠BAP=∠PCE=45°，AP=4 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴BP²=AB²+AP²-2AB×AP×cos∠BAP=4²+（ $\text{[math]}$ ）²-2×4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =10
PE²=CE²+CP²-2CE×CP×cos∠PCE=（3 $\text{[math]}$ ）²+x²-2x×3 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =x²-6x+18
BE²=BC²+CE²=16+x²
在Rt△PBE中，BP²+PE²=BE²，即：10+x²-6x+18=16+x²，解得：x=2
∴PE²=2²-6×2+18=10
∴PE= $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要是利用勾股定理进行求解．

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