Question

【题目】已知抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为，与y轴交于点C，且对称轴在y轴的左侧，抛物线的顶点为P.

（1）当时，求抛物线的顶点坐标；

（2）当时，求b的值；

（3）在（1）的条件下，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3），为定值

【解析】

（1）将，A坐标代入抛物线解析式即可；

（2）设B点坐标为，可证明是等腰直角三角形，通过勾股定理即可求得长度，即的长，从而求得b的值.

（3）设，求得直线，直线，用含t的代数式表示即可求解.

（1）∵，∴抛物线为，

∴将点代入，得，∴，

∴抛物线的解析式为，

∴顶点坐标为.

（2）由已知将点代入，得，∴，

∵对称轴在y轴的左侧，∴，

∴，∴；

设B点坐标为，则∴，

∴，是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得，

又∵，

∴，

解得.

（3）为定值，如图所示:

∵抛物线的对称轴为：直线

∴，

设

设直线解析式为

∴，解得：

∴直线

当时，

∴

设直线解析式为

∴解得：

∴直线

当时，

∴

∴，为定值.