Question

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．其中正确结论的序号是 ．

 

 

Answer 1

①③⑤.

【解析】

试题分析：①如图，连接CD，

∵根据轴对称的性质，CE＝CD，∴∠DCE＝∠ECD.

又∵DF⊥DE，∴.∴CD=CF. ∴CE＝CF. 结论①正确.

②∵由①知，EF＝2CD，∴当线段EF最小时，线段CD也最小.

根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小.

∵AB是半圆O 的直径，∴∠ACB＝90°.

∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝.

当CD⊥AD时，，

∴线段EF的最小值为. 结论②错误.

③如图，连接CD，CO，

∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°. ∴△AOB是等边三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.

∴当AD＝2时，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.

∵根据轴对称的性质，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.

∴EF与半圆相切. 结论③正确.

④若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD=AB=8. 结论④错误.

⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，为. 结论⑤正确.

综上所述，结论正确的是①③⑤.

考点：1.单动点和轴对称问题；2. 轴对称的性质；3. 垂直线段的性质；4.圆周角定理；5.含30度角直角三角形的性质；6. 等边三角形的性质；7.切线的判定.