Question

已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．

（1）求证：△ADE∽△CDF；

（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与ABCD的面积之比．

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；

（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=，分别求出含参数y的⊙O面积和四边形ABCD面积，即可求出答案．

试题解析：【解析】
（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°.

∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°.

∴∠ADF=∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF.

∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE.

（2）∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x.

∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y.

∵△ADE∽△CDF，∴，即.

∵x、y均为正数，∴x=2y. ∴BC=6y，CF=2y.

在Rt△DFC中，∠DFC=90°，

由勾股定理得：，

∴⊙O的面积为，

四边形ABCD的面积为.

∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为．

考点：1.圆周角定理；2. 平行四边形的性质；3.切线的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.消参的待定系数法应用．