Question

【题目】如图， 中， 于，且．

（）试说明是等腰三角形．

（）已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）．

①若的边与平行，求的值．

②若点是边的中点，问在点运动的过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①为或；②能， 值为或或，理由见解析

【解析】试题分析：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；

（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN；得出方程，解方程即可；

②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t－4；分别得出方程，解方程即可．

试题解析：

（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，

在Rt△ACD中，AC＝＝5x，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，

∴x＝2cm，

则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．

①当MN∥BC时，AM＝AN，

即10－t＝t，

∴t＝5；

当DN∥BC时，AD＝AN，

得：t＝6；

∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．

②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；

当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，

当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．

如果DE＝DM，则t－4＝5，

∴t＝9；

如果ED＝EM，则点M运动到点A，

∴t＝10；

如果MD＝ME＝t－4，

过点E做EF垂直AB于F，

因为ED＝EA，

所以DF＝AF＝AD＝3，

在Rt△AEF中，EF＝4；

因为BM＝t，BF＝7，

所以FM＝t－7，

则在Rt△EFM中，（t－4）2－（t－7）2＝42，

∴t＝．

综上所述，符合要求的t值为9或10或．