Question

【题目】有一块含30°角的直角三角板OMN，其中∠MON＝90°，∠NMO＝30°，ON＝2，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC的顶点B与点O重合，BC边落在OM上，点A恰好落在斜边MN上，将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与斜边MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）（0＜t＜6）．

（1）等边△ABC的边长为　 　；

（2）在运动过程中，当　 　时，MN垂直平分AB；

（3）当0＜t＜6时，求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）3；（3）.

【解析】

（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．

（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；

（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t＜6时，S＝S△MEB．

解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝2，∠M＝30°

∴OM＝ON＝6，

∵△ABC为等边三角形

∴∠AOC＝60°，

∴∠OAM＝90°

∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，

∴OA＝OM＝×6＝3．

故答案为3．

（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．

故答案为3．

（3）易知：OM＝6，MN＝4，S△OMN＝×2×6＝6，

∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，

∴∠BEM＝90°．

①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．

∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，

∴∠CFM＝∠M＝30°，

∴CF＝CM，

∵CD⊥FM，

∴DF＝DM，

∴S△CMF＝2S△CDM，

∵△MEB∽△MON，

∴，

∴S△MEB＝，

∵△MDC∽△MON，

∴，

∴S△MDC＝，

∴S＝S△MEB﹣2S△MDC＝﹣．

②当3＜t＜6时，S＝S△MEB＝，

综上所述，S＝ ．