Question

如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．且A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．

（1）求点B的坐标；
（2）探究：坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标；
（2）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角，②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可；
（3）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．
解答：解：（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1），
将E（0，3）代入上式，解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点B的坐标为（1，4）；

（2）在△ABE中，∵AB²=（3-1）²+（0-4）²=20，AE²=（3-0）²+（0-3）²=18，BE²=（1-0）²+（4-3）²=2，
∴AB²=AE²+BE²，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE===，sin∠BAE===，cos∠BAE===．
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形．
①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE，
满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P₁点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P₂在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=；而DE==，
则DP₂=DE÷sin∠DP₂E=÷=10，OP₂=DP₂-OD=9，
即：P₂（9，0）；
③DE为长直角边时，点P₃在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=；
则EP₃=DE÷cos∠DEP₃=÷=，OP₃=EP₃-OE=；
综上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-）；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，
得，解得，
∴y=-2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，
∴F（，3）．
情况一：如图1，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．
则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得=，
即=，解得HK=2t．
∴S_阴=S_△MNG-S_△SNA-S_△HAG=×3×3-（3-t）²-t•2t=-t²+3t；
情况二：如图2，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得=，
即=，解得IQ=2（3-t）．
∵AQ=VQ=3-t，
∴S_阴=IV•AQ=（3-t）²=t²-3t+．
综上所述：s=．
点评：该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．