Question

如果点P在坐标轴上，以P为圆心，为半径的圆与直线y=-x+2相切于C点，则过点C的双曲线的K是    ．

Answer 1

【答案】分析：过点O作直线AB的垂线，垂足为C点．由直线解析式可知，OA=2，OB=2；然后利用三角形的面积公式求得OC=；再根据∠CAO的三角函数值即可求得点C的坐标，则过点C的双曲线的K=xy．进而算出k的值．
解答：解：过点O作直线AB的垂线，垂足为C点，
∵直线y=-x+2与x轴交于A，与y轴交于B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
由勾股定理可知：AB=4，
S_△AOB=OC•AB=OA•OB，
CO×4=2×2，
∴OC=，
∵以P为圆心，为半径的圆，
∴P（0，0），根据中心对称性得点P′（4，0），
①当P（0，0）时，过C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∵CO=，AO=2，
∴sin∠CAO=
∴∠CAO=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=，
∴DO=，
∴C（，），
设过C点的双曲线关系式为y=（k≠0），
∴K=×=；
②当P′（4，0）时，过C作CG⊥x轴，CH⊥y轴，
与①同理可得：P′G=，GC′=，
∴C′（，-），
设过C′点的双曲线关系式为y=（k≠0），
K=×（-）=-，
故答案为：或-．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是根据题意确定出P点的坐标．