Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BP⊥AB，OP∥AC，交BP于点P连PC，且
PC=20．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）将

BC

沿弦BC对折后交直径AB于D，若

AD

BD

=

2

3

，求弦BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接AC，OC，求出∠COP=∠BOP，证△PCO≌△PBO，推出∠PCO=∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）延长AC到A′，使AC=A′C，连接BA′交⊙O于D′，证△AD′A′∽△PCO，求出AD′，根据勾股定理求出AB、PO，证△PBO∽△BCA，得出比例式．代入求出即可．

解答：（1）证明：连接OC、AC，
∵OP∥AC，
∴∠POB=∠A，∠POC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∴∠POC=∠POB，
在△POC和△POB中，

OP=OP ∠POC=∠POB OC=OB

，
∴△POC≌△POB（SAS），
∴∠PCO=∠PBO，
∵PB⊥AB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PCO=90°，
∵OC为半径，
∴PC是⊙O切线．

（2）解：∵△POC≌△POB，
∴PB=PC=20，
延长AC到A′，使AC=A′C，连接BA′交⊙O于D′，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴A和A′关于BC对称，
∵AD：BD=2：3，
∴设AD=2x，BD=3x，则AB=5x，OC=OB=2.5x，
∴AD=AD′=2x，BD′=BD=3x，
∵A和A′关于BC对称，
∴∠A′=∠CAB，
∵∠COP=∠CAB，
∴∠A′=∠COP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AD′B=∠A′D′A=90°，
∵∠PCO=90°，
∴∠PCO=∠AD′A′=90°，
∵∠PCO=∠A′，
∴△PCO∽△AD′A′，
∴

PC

OC

=

AD′

A′D′

，
∴

20

2.5x

=

AD′

2x

，
∴AD′=16，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：（5x）²-（3x）²=16²，
解得x=4，
∴AB=20，OB=10，
在Rt△PBO中，由勾股定理得：PO=

102+202

=10

5

，
∵∠POB=∠CAB，∠PBO=∠ACB=90°，
∴△PBO∽△BCA，
∴

PB

BC

=

PO

AB

，
∴

20

BC

=

10 5

20

，
∴BC=8

5

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，轴对称，勾股定理等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．