Question

【题目】如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．

求抛物线的解析式；

点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合，过点P作直线轴于点D，交直线AB于点E．

当时，求P点坐标；

是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）点P坐标为或或或．

【解析】分析：（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．

详解：点在直线上，

，

，

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

抛物线解析式为；

设，则，，

则，，

，

，

当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，

；

当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，

；

综上可知P点坐标为或；

设，则，且，，

，，，

当为等腰三角形时，则有、或三种情况，

当时，则，解得，此时P点坐标为；

当时，则，解得或，此时P点坐标为或；

当时，则，解得或，当时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或或．