Question

【题目】已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE,则下列结论：①AE=(AB+AD);②∠DAB+∠DCB=180;③CD=CB;④S S =S.其中正确结论的是_________________________.

Answer 1

【答案】①、②、③、④

【解析】

在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出AE=（AB+AD）；

②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；

③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；

④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC．

①在AE取点F，使EF=BE.

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，

∴AB=AD+2BE=AF+2BE，

∴AD=AF，

∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，

∴AE=(AB+AD)，故①正确；

②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF.

在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，

∴△ACD≌△ACF，

∴∠ADC=∠AFC.

∵CE垂直平分BF，

∴CF=CB，

∴∠CFB=∠B.

又∵∠AFC+∠CFB=180，

∴∠ADC+∠B=180，

∴∠DAB+∠DCB=360(∠ADC+∠B)=180，故②正确；

③由②知,△ACD≌△ACF，∴CD=CF，

又∵CF=CB，

∴CD=CB，故③正确；

④易证△CEF≌△CEB，

∴S△ACES△BCE=S△ACES△FCE=S△ACF，

又∵△ACD≌△ACF，

∴S△ACF=S△ADC，

∴S△ACES△BCE=S△ADC，故④正确

故答案为:①、②、③、④