Question

【题目】已知如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，AB＝，tan∠BAO＝3．

（1）求直线AB的解析式；

（2）直线y＝kx+b经过点B交x轴交于点C，且∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D．动点P从点C出发，沿CB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t，设△ADP的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

（3）在（2）的条件下，点P在线段BD上，点F在线段AB上，∠APC＝∠FPB，连接AP，过点F作FG⊥AP于点G，交AD于点H，若DP＝DH，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x+6；（2）当0≤t＜1时，S＝5﹣5x，当1＜t≤3时，S＝5x﹣5；（3）点P（，）

【解析】

（1）由三角函数和勾股定理可求点A，点B坐标，用待定系数法可求解析式；

（2）如图1，过点D作EF⊥AC，交AC于点F，过点B作BE⊥EF，垂足为E，由“AAS”可证△BDE≌△DAF，可得DF＝BE，DE＝AF，可求点D坐标，可求BC解析式，由勾股定理可求BC的长，由面积公式可求解；

（3）如图2，过点B作BN⊥AB交AP延长线于N，由“ASA”可证△BPN≌△BPF，可得BN＝BF，PN＝PF，由“AAS”可证△AHF≌△BPN，可得AF＝BN，PN＝FH，可求点F坐标，由两点距离公式可求BF＝＝BN，通过证明△MNP∽△DAP，可得，可求PD的长，由两点距离公式可求点P坐标．

解：（1）∵tan∠BAO＝3＝，

∴BO＝3AO，

∵AB2＝AO2+BO2＝40，

∴AO＝2，BO＝6，

∴点A（﹣2，0），点B（0，6）

设直线AB解析式为：y＝kx+6，

∴0＝﹣2k+6，

∴k＝3，

∴直线AB解析式为：y＝3x+6；

（2）如图1，过点D作EF⊥AC，交AC于点F，过点B作BE⊥EF，垂足为E，

∴四边形BEFO是矩形，

∴BO＝EF＝6，OF＝BE，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴∠ABC＝∠BAD＝45°，

∴AD＝BD，

∵∠ADB＝90°＝∠AFD，

∴∠BDE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠BDE＝∠DAF，且BD＝AD，∠E＝∠AFD＝90°，

∴△BDE≌△DAF（AAS）

∴DF＝BE，DE＝AF，

∵EF＝ED+DF＝AO+OF+OF＝2+2OF＝6

∴OF＝2，

∴点D坐标（2，2），

设BC解析式为：y＝ax+6，

∴2＝2a+6，

∴a＝﹣2，

∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，

∴当y＝0时，x＝3，

∴点C（3，0），

∴OC＝3，

∴BC＝＝3，

∵AB＝2，且∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝2，

∴CD＝，

当0≤t＜1时，S＝×2×（﹣x）＝5﹣5x，

当1＜t≤3时，S＝×2×（x﹣）＝5x﹣5；

（3）如图2，过点B作BN⊥AB交AP延长线于N，过点N作MN⊥BC于M，

∵AD＝BD，DH＝PD，

∴AH＝BP，

∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，

∴∠ABC＝∠NBP＝45°，且∠APC＝∠BPN＝∠BPF，BP＝BP，

∴△BPN≌△BPF（ASA）

∴BN＝BF，PN＝PF，

∵FH⊥AP，

∴∠AGF＝∠ABN＝90°，

∴∠FAG+∠AFG＝90°，∠FAG+∠N＝90°，

∴∠AFG＝∠N，且∠BAD＝∠PBN＝45°，AH＝BP，

∴△AHF≌△BPN（AAS）

∴AF＝BN，PN＝FH，

∴BF＝AF，FH＝FP，

∴点F是AB中点，

∴点F坐标（﹣1，3）

∴BF＝＝BN，

∵∠NBM＝45°，

∴BM＝MN＝，

∴MD＝BD﹣BM＝，

∵MN⊥BC，AD⊥BC，

∴AD∥MN，

∴△MNP∽△DAP，

∴

∴，且MP+PD＝

∴PD＝

设点P（x，﹣2x+6），

∴（x﹣2）2+（﹣2x+6﹣2）2＝，

∴x＝，x＝（不合题意舍去）

∴点P（，）