Question

若3⁷可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为（　　）

• A、65
• B、64
• C、54
• D、27

Answer 1

分析：根据题意设3⁷=a+1+a+2+…+a+k，然后分情况讨论k的奇偶性，然后得出k的最大值．

解答：解：设3⁷=a+1+a+2+…+a+k=ak+

k(k+1)

2

．
若k是奇数，则设k=3^t
a+

3t+1

2

=3^7-t，要使k最大，也就是t最大，并且a是非负整数，
由于3^7-t=a+

3t+1

2

＞3^t-1，所以7-t＞t-1，t＜4，故t≤3．
这时k最大为3³=27，相应的a=67．
若k是偶数，则设k=2×3^t
2a+2×3^t+1=3^7-t，要使k最大，也就是t最大，并且a是非负整数，
由于3^7-t=2a+2×3^t+1＞3^t，所以7-t＞t，t＜3.5，故t≤3．
这时k最大为2×3³=54，相应的a=13．综上可知k最大值为54．
故选：C．

点评：本题考查了数的整除性问题，根据题意当k为奇数，只有设k=3^t，当k为偶数时，只有设k=2×3^t．