Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如答图1，过点B作BF⊥x轴于F， 在Rt△BCF中， ∵∠BCO=45°，BC=12， ∴CF=BF=12． ∵C 的坐标为（﹣18，0）， ∴AB=OF=6， ∴点B的坐标为（﹣6，12）； （2）如答图1，过点D作DG⊥y轴于点G， ∵AB∥DG， ∴△ODG∽△OBA， ∵，AB=6，OA=12， ∴DG=4，OG=8， ∴D（﹣4，8），E（0，4）， 设直线DE的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∴，解得：， ∴直线DE的解析式为：y=﹣x+4； （3）结论：存在． 设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F， 则E（0，4），F（4，0）， OE=OF=4，EF=4． 如答图2所示，有四个菱形满足题意． ①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边． 则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E= 4﹣4． 易知△P1NF为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4﹣2； 设P1Q1交x轴于点N， 则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2， 又ON=OF﹣NF= 2， ∴Q1（2，﹣2）； ②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边． 此时Q2与Q1关于原点对称， ∴Q2（﹣2，2）； ③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边． 此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形， ∴Q3（4，4）； ④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线． 由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线， 由OE=4，得P4纵坐标为2， 代入直线解析式y=﹣x+4，得P4横坐标为2， 则P4（2，2）， 由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称， ∴Q4（﹣2，2）． 综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形； 点Q的坐标为：Q1（2，﹣2）， Q2（﹣2，2）， Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．

答图1 答图2