Question

17．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x²-16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（　　）

• A． 24
• B． 48
• C． 24或8$\sqrt{5}$
• D． 8$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程得到所以x₁=6，x₂=10，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，利用勾股定理计算出AD=2$\sqrt{5}$，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．

解答 解：x²-16x+60=0
（x-6）（x-10）=0，
x-6=0或x-10=0，
所以x₁=6，x₂=10，
当第三边长为6时，如图，
在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
所以该三角形的面积=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$；
当第三边长为10时，由于6²+8²=10²，此三角形为直角三角形，
所以该三角形的面积=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
即该三角形的面积为24或8$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．