Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l：y=-2x+4分别与x轴，y轴相交于B、C两点．
（1）点B的坐标为

（2，0）

，点C的坐标为

（0，4）

；
（2）在直线l上是否存在点P，使得△APO为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线y=-2x+b上始终存在4个点P，使得△APO为直角三角形，求出b的取值范围．（直接写出答案，不需说明理由）

Answer 1

分析：（1）由直线l的解析式y=-2x+4，根据x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0即可求出点B与点C的坐标；
（2）△APO为直角三角形时，分三种情况进行讨论：①如果∠AOP=90°，那么P与C重合，此时P₁（0，4）；②如果∠OAP=90°，那么P点横坐标与A点横坐标相同，此时P₂（4，-4）；③如果∠OPA=90°，根据勾股定理得出OP²+PA²=OA²，设P点坐标为（x，-2x+4），根据两点间的距离公式列出方程x²+（-2x+4）²+（x-4）²+（-2x+4）²=4²，解方程求出此时P₃（2-

2

5

5

，

4

5

5

）、P₄（2+

2

5

5

，-

4

5

5

）；
（3）△APO为直角三角形时，分三种情况进行讨论：①如果∠AOP=90°，那么P₁（0，b）；②如果∠OAP=90°，那么P₂（4，b-8）；③如果∠OPA=90°，那么OP²+PA²=OA²，设P点坐标为（x，-2x+b），则x²+（-2x+b）²+（x-4）²+（-2x+b）²=4²，根据直线y=-2x+b上始终存在4个点P，使得△APO为直角三角形，得出方程5x²+（-4b-4）x+b²=0有两个不相等的实数根，则判别式△＞0，由此求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵y=-2x+4，
∴当y=0时，x=2，∴B（2，0），
当x=0时，y=4，∴C（0，4）；

（2）△APO为直角三角形时，分三种情况：
①如果∠AOP=90°，那么P与C重合，此时P₁（0，4）；
②如果∠OAP=90°，那么AP⊥OA，P点横坐标与A点横坐标相同，为4，
当x=4时，y=-4，此时P₂（4，-4）；
③如果∠OPA=90°，那么OP²+PA²=OA²，
设P点坐标为（x，-2x+4），则x²+（-2x+4）²+（x-4）²+（-2x+4）²=4²，
整理，得5x²-20x+16=0，
解得x₁=2-

2

5

5

，x₂=2+

2

5

5

，
此时P₃（2-

2

5

5

，

4

5

5

）、P₄（2+

2

5

5

，-

4

5

5

）．
综上所述，在直线l上存在点P₁（0，4）、P₂（4，-4），P₃（2-

2

5

5

，

4

5

5

）、P₄（2+

2

5

5

，-

4

5

5

），能够使得△APO为直角三角形；

（3）△APO为直角三角形时，分三种情况：
①如果∠AOP=90°，那么P₁（0，b）；
②如果∠OAP=90°，那么P₂（4，b-8）；
③如果∠OPA=90°，那么OP²+PA²=OA²，
设P点坐标为（x，-2x+b），则x²+（-2x+b）²+（x-4）²+（-2x+b）²=4²，
整理，得5x²+（-4b-4）x+b²=0，
∵直线y=-2x+b上始终存在4个点P，使得△APO为直角三角形，
∴方程5x²+（-4b-4）x+b²=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4b-4）²-4×5b²=-4b²+32b+16＞0，
∴b²-8b-4＜0，
解得4-2

5

＜b＜4+2

5

．
故b的取值范围是4-2

5

＜b＜4+2

5

．
故答案为（2，0），（0，4）．

点评：本题是一次函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，两点间的距离公式，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，难度适中．利用分类讨论、方程思想是解题的关键．