Question

（2013•拱墅区一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-

3

）．
（1）直接写出抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设抛物线上的点Q，使△QAO与△AOB相似（不全等），求出点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点M（0，

3

），连结QM并延长交抛物线另一点R，在直线QR下方的抛物线上找点P，当△PQR面积最大时，求点P的坐标及S_△PQR的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，-

3

）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）点Q不与点B重合．先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q₁OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q₁的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q₂的坐标．
（3）将M（0，

3

）、Q₁（9，3

3

）代入y=kx+b，得直线QR的解析式为y=

2 3

9

x+

3

，求与抛物线的交点R：P点在直线QR下方且在抛物线上，故设P（x，

3

9

x2-

2 3

3

x），
如图，过P作直线平行于y轴，交QR于点K，则K（x，

2 3

9

x+

3

），则S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=

1

2

PK（9-x+x+1）=-

5 3

9

(x-4)2+

125 3

9

，所以根据求二次函数最值的方法知当x=4时，S_△PQR最大=

125 3

9

，则易求点P的坐标．同理求得P₂（0，0），S_△PQR最大=3

3

．

解答：解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为B（3，-

3

），
∴

- b 2a =3 9a-3b=- 3

，
解得，

a= 3 9 b=- 2 3 3

∴该函数解析式为：y=

3

9

x2-

2 3

3

x，
∴由二次函数图象的对称性可知，点A与原点关于x=3对称，
∴点A的坐标为（6，0）；
综上所述，抛物线的解析式为y=

3

9

x2-

2 3

3

x，点A的坐标为（6，0）；

（2）过B作BC⊥x轴于点C，Rt△OCB中，tan∠OBC=

3

3

=

3

，
∴∠OBC=60°，
∴∠OBA=120°，△AOB是顶角为120°的等腰三角形，当点Q在x轴下方时，必与点B重合（舍去全等情况），
∴当Q在x轴上方时，过Q作QD⊥x轴，
∵△QAO∽△AOB，
∴必有OA=AQ=6，且∠OAQ=120°，
∴∠QAD=60°，
∴AD=3，QD=3

3

，
∴Q（9，3

3

）．
∵Q（9，3

3

）满足y=

3

9

x2-

2 3

3

x，
∴Q在抛物线上，
根据对称性Q₂（-3，  3

3

)也满足条件，
∴符合条件的Q点有两个：Q₁（9，3

3

）、Q₂（-3， 3

3

)；

（3）设直线QR的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将M（0，

3

）、Q₁（9，3

3

）代入y=kx+b，得直线QR的解析式为y=

2 3

9

x+

3

，
令

2 3

9

x+

3

=

3

9

x2-

2 3

3

x
解得x₁=-1，x₂=9（即Q点舍去），
∴R（-1，

7 3

9

），
∵P点在直线QR下方且在抛物线上，故设P（x，

3

9

x2-

2 3

3

x）．
如图，过P作直线平行于y轴，交QR于点K，则K（x，

2 3

9

x+

3

）
则S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=

1

2

PK（9-x+x+1）=

1

2

[

2 3

9

x+

3

-（

3

9

x2-

2 3

3

x）]×10
=-

5 3

9

(x-4)2+

125 3

9

当x=4时，S_△PQR最大=

125 3

9

，
∴点P的坐标为（4，-

8 3

9

）．
同理过Q₂（-3，  3

3

)、M的直线交抛物线R₂，在Q₂R₂下方抛物线取点P₂，
解得P₂（0，0），S_△PQR最大=3

3

．

点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．